Cho a,b,c>0 CMR a) $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ $\geq$ $ab^{3} + bc^3 + ca^3$ b) CMR $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ $\geq$ $a^{3}b + b^3c + c^3a$

a) Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:

$a^4 + b^4 +b^4 + b^4 \geq 4\sqrt[4]{a^4.b^4.b^4.b^4} = 4|ab^3| = 4ab^3$ $(a,b,c > 0)$

Tương tự ta được:

$b^4 +c^4 +c^4 + c^4 \geq 4bc^3$

$c^4 +a^4 +a^4 + a^4 \geq 4ca^3$

Cộng vế theo vế ta được:

$4(a^4 + b^4 +c^4) \geq 4(ab^3 + bc^3 + ca^3)$

$\Leftrightarrow a^4 +b^4 +c^4 \geq ab^3 + bc^3 + ca^3$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

b) Tương tự câu a.

Bằng cách áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:

$a^4 + a^4 +a^4 + b^4 \geq 4a^3b$

$b^4 +b^4 + b^4 +c^4 \geq 4b^3c$

$c^4 +c^4 + c^4 + a^4 \geq 4c^4a$

Cộng vế theo vế ta được:

$4(a^4 + b^4 +c^4) \geq 4(a^3b + b^3c + c^3a)$

$\Leftrightarrow a^4 + b^4 + c^4 \geq a^3b + b^3c + c^3a$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$