Cho a,b,c>0 cmr a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2

0 bình luận về “Cho a,b,c>0 cmr a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2”

1. `a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)`

   `=(a^2)/(a(b+c))+(b^2)/(b(c+a))+(c^2)/(c(a+b))`

   `=(a^2)/(ab+ac)+b^2/(bc+ab)+c^2/(ac+bc)`

   Áp dụng bđt Svac-xơ ta có:

   `(a^2)/(ab+ac)+b^2/(bc+ab)+c^2/(ac+bc)`

   `>=((a+b+c)^2)/(ab+ac+bc+ab+ac+bc)`

   `=(a+b+c)^2/(2(ab+bc+ca))`

   Mặt khác `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` với `∀a;b;c`

   `<=> 2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`

   `<=> a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca`

   `<=> a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca>=3ab+3bc+3ca`

   `<=> (a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)`

   `<=> ab+bc+ca<=(a+b+c)^2/3`

   `=> (a^2)/(ab+ac)+b^2/(bc+ab)+c^2/(ac+bc)`

   `>= (a+b+c)^2/(2. 1/3 (a+b+c)^2)`

   `= 3/2`

   Dấu = xảy ra khi `a=b=c`

    

   Bình luận