Cho `a,b,c>0`. CMR: `a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+(4abc)/[(a+b)(b+c)(c+a)]\ge 2` 01/11/2021 Bởi Alexandra Cho `a,b,c>0`. CMR: `a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+(4abc)/[(a+b)(b+c)(c+a)]\ge 2`
để `a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+(4abc)/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2` `⇔ [a(a^2+ac+bc +ab)+b(b^2+ac+bc +ab)+c(c^2+ac+bc +ab)+4abc]/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2` `⇔ [a^3+b^3+c^3+(a+b+c)(ac+bc +ab)+4abc]/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2` `⇔[a^3+b^3+c^3+(a+b)(b+c)(a+c)+5abc]/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2` `⇔[a^3+b^3+c^3+5abc]/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥1` `⇔a^3+b^3+c^3+5abc≥(a+b)(b+c)(c+a)` `⇔a^3+b^3+c^3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)` mà` a,b,c>0` `⇒a^3+b^3+c^3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) ` mà là điều hiển nhiên `⇒ a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+(4abc)/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2(đpcm)` Bình luận
Đáp án + giải thích các bước giải:
để `a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+(4abc)/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2`
`⇔ [a(a^2+ac+bc +ab)+b(b^2+ac+bc +ab)+c(c^2+ac+bc +ab)+4abc]/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2`
`⇔ [a^3+b^3+c^3+(a+b+c)(ac+bc +ab)+4abc]/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2`
`⇔[a^3+b^3+c^3+(a+b)(b+c)(a+c)+5abc]/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2`
`⇔[a^3+b^3+c^3+5abc]/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥1`
`⇔a^3+b^3+c^3+5abc≥(a+b)(b+c)(c+a)`
`⇔a^3+b^3+c^3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)` mà` a,b,c>0`
`⇒a^3+b^3+c^3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) ` mà là điều hiển nhiên
`⇒ a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)+(4abc)/[(a+b)(b+c)(c+a)]≥2(đpcm)`