Cho $a,b,c>0_{}$ . CMR : $\dfrac{a}{b+c}+$ $\dfrac{b}{a+c}+$ $\dfrac{c}{a+b}$ $\geq$ $\dfrac{3}{2}$
Cho $a,b,c>0_{}$ . CMR : $\dfrac{a}{b+c}+$ $\dfrac{b}{a+c}+$ $\dfrac{c}{a+b}$ $\geq$ $\dfrac{3}{2}$
By Melody
By Melody
Cho $a,b,c>0_{}$ . CMR : $\dfrac{a}{b+c}+$ $\dfrac{b}{a+c}+$ $\dfrac{c}{a+b}$ $\geq$ $\dfrac{3}{2}$
Phụ huynh gặp khó khăn cân bằng công việc và dạy con chương trình mới. Hãy để dịch vụ gia sư của chúng tôi giúp bạn giảm bớt áp lực, cung cấp kiến thức chuyên sâu và hỗ trợ con bạn học tập hiệu quả.
\(\begin{array}{l}
\text{Ta có:}\\
\dfrac{a}{b+c} + 1 = \dfrac{a+b+c}{b+c}\\
\dfrac{b}{c+a} + 1 = \dfrac{a+b+c}{c+a}\\
\dfrac{c}{a+b} + 1 = \dfrac{a+b+c}{a+b}\\
\text{Cộng vế theo vế ta được:}\\
\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} + 3 = (a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{a+b}\right)\\
\text{Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:}\\
\quad \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{a+b} \geqslant \dfrac{(1+1+1)^2}{b+c+c+a+a+b}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{a+b} \geqslant \dfrac{9}{2(a+b+c)}\\
\Leftrightarrow (a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{a+b}\right) \geqslant \dfrac92\\
\Leftrightarrow \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} + 3 \geqslant \dfrac92\\
\Leftrightarrow \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \geqslant \dfrac32\\
\text{Dấu = xảy ra}\ \Leftrightarrow a = b = c
\end{array}\)
`a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = a^2/(ab+ac) + b^2/(ab + bc) + c^2/(ac + bc)`
Áp dụng Cauchy Schwarz dạng Engel
` a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = a^2/(ab+ac) + b^2/(ab + bc) + c^2/(ac + bc) `
` \ge ((a+b+c)^2)/(ab +ac + ab + bc + ac + bc) = ((a+b+c)^2)/( 2(ab+ bc + ac))`
Ta có BĐT phụ ` (a+b+c)^2 \ge 3(ab+ bc +ac)` ; thật vậy, BĐT tương đương
` a^2 +b^2 +c^2 + 2ab + 2bc + 2ac – 3ab – 3bc -3ac \ge 0`
`\to a^2 +b^2 + c^2 -ab – bc – ac \ge 0`
`\to 2a^2+ 2b^2 +2c^2 -2ab – 2bc – 2ac \ge 0`
` \to (a-b)^2 +(b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0` (đúng)
Áp dụng, ta có
` a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) \ge ((a+b+c)^2)/( 2(ab+ bc + ac)) \ge (3(ab+bc+ac))/(2(ab+bc+ac)) = 3/2`
Dấu `=` xảy ra khi ` a = b =c`
— BĐT đề bài là BĐT Nesbit, có siêu nhiều cách chứng minh nhưng mình quen làm theo cách này