Cho a,b,c > 0 . CMR: $\frac{a^5}{b^2}$+ $\frac{b^5}{c^2}$ +$\frac{c^5}{a^2}$$\geq$ $a^{3}$ +$b^{3}$ +$c^{3}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ ta được:

$\dfrac{a^5}{b^2} + \dfrac{a^5}{b^2} + \dfrac{a^5}{b^2} +b^3 + b^3 \geq 5\sqrt[5]{\dfrac{a^5}{b^2} \cdot\dfrac{a^5}{b^2}\cdot\dfrac{a^5}{b^2}\cdot b^3\cdot b^3}$

$\Leftrightarrow \dfrac{3a^5}{b^2} + 2b^3 \geq 5a^3$

Tương tự, ta được:

$\dfrac{3b^5}{c^2} + 2c^3 \geq 5b^3$

$\dfrac{3c^5}{a^2} + 2a^3 \geq 5c^3$

Cộng vế theo vế ta được:

$3\cdot\left(\dfrac{a^5}{b^2} + \dfrac{b^5}{c^2} + \dfrac{c^5}{a^2}\right) + 2(a^3 + b^3 + c^3) \geq 5(a^3 + b^3 + c^3)$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^5}{b^2} + \dfrac{b^5}{c^2} + \dfrac{c^5}{a^2} \geq a^3 + b^3 + c^3$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$