Cho `a,b,c > 0` thõa mãn `1/a + 1/c = 2/b` . CM/r : `(a + b)/(2a – b) + (b + c)/(2c – b) >= 4` 12/10/2021 Bởi Valerie Cho `a,b,c > 0` thõa mãn `1/a + 1/c = 2/b` . CM/r : `(a + b)/(2a – b) + (b + c)/(2c – b) >= 4`
Đáp án: Bạn có thể : Từ `GT : 1/a + 1/c = 2/b -> b/a + b/c = 2` Đặt `(b/a , b/c) = (x,y) (x + y = 2)(x,y > 0)` Hoặc thế theo `b = (2ac)/(a+c)` thay vào Cách khác Ta có : `(a + b)/(2a – b) + (b + c)/(2c – b) >= 4` `<=> [(a + b)/(2a – b) + 1] + [(b + c)/(2c – b) + 1] >= 6` `<=> (3a)/(2a – b) + (3c)/(2c – b) >= 6` `<=> a/(2a – b) + c/(2c – b) >= 2` `<=> 1/(2 – b/a) + 1/(2 – b/c) >= 2 (1)` Ta có : `VT_{(1)} = 1/(2 – b/a) + 1/(2 – b/c) ≥ 4/(4 – (b/a + b/c)) = 4/(4 – b(1/a + 1/c)) = 4/(4 – b . 2/b) = 4/(4 – 2) = 2 = VP_{(1)}` Vậy bài toán đã được `c/m` dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
Bạn có thể : Từ `GT : 1/a + 1/c = 2/b -> b/a + b/c = 2`
Đặt `(b/a , b/c) = (x,y) (x + y = 2)(x,y > 0)`
Hoặc thế theo `b = (2ac)/(a+c)` thay vào
Cách khác
Ta có :
`(a + b)/(2a – b) + (b + c)/(2c – b) >= 4`
`<=> [(a + b)/(2a – b) + 1] + [(b + c)/(2c – b) + 1] >= 6`
`<=> (3a)/(2a – b) + (3c)/(2c – b) >= 6`
`<=> a/(2a – b) + c/(2c – b) >= 2`
`<=> 1/(2 – b/a) + 1/(2 – b/c) >= 2 (1)`
Ta có : `VT_{(1)} = 1/(2 – b/a) + 1/(2 – b/c) ≥ 4/(4 – (b/a + b/c)) = 4/(4 – b(1/a + 1/c)) = 4/(4 – b . 2/b) = 4/(4 – 2) = 2 = VP_{(1)}`
Vậy bài toán đã được `c/m` dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c`
Giải thích các bước giải: