Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn a + b + c = 1. CMR: 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9 ~ Cần lắm những nhân tài :( ~ 24/10/2021 Bởi Eloise Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn a + b + c = 1. CMR: 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9 ~ Cần lắm những nhân tài 🙁 ~
`1/a+1/b+1/c ≥ 9 ` Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ( cộng mẫu ) `1/a+1/b+1/c ≥ (1+1+1)^2/(a+b+c) = 3^2/1=9` (đpcm) Nếu chưa biết thì đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel `a^2/x+b^2/y+c^2/z ≥ (a+b+c)^2/(x+y+z)` Bình luận
Đáp án:Cách dễ hiểu nhất !!!! Giải thích các bước giải: Ta có : `1/a + 1/b + 1/c=1.(1/a + 1/b + 1/c ) ` `=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)` `=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1` `=(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)+3` Vì `(a-b)^2>=0` `=>a^2+b^2>=2ab` `=>(a^2+b^2)/ab>=2` `=>a^2/(ab)+b^2/(ab)>=2` `=>a/b+b/a>=2` Tương tự `=>a/c+c/a>=2` `=>c/b+b/c>=2` `=>(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)+3>=2+2+2+3=9` `=>1/a + 1/b + 1/c ≥ 9(dpcm)` Bình luận
`1/a+1/b+1/c ≥ 9 `
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ( cộng mẫu )
`1/a+1/b+1/c ≥ (1+1+1)^2/(a+b+c) = 3^2/1=9` (đpcm)
Nếu chưa biết thì đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel
`a^2/x+b^2/y+c^2/z ≥ (a+b+c)^2/(x+y+z)`
Đáp án:Cách dễ hiểu nhất !!!!
Giải thích các bước giải:
Ta có : `1/a + 1/b + 1/c=1.(1/a + 1/b + 1/c ) `
`=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`
`=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1`
`=(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)+3`
Vì `(a-b)^2>=0`
`=>a^2+b^2>=2ab`
`=>(a^2+b^2)/ab>=2`
`=>a^2/(ab)+b^2/(ab)>=2`
`=>a/b+b/a>=2`
Tương tự
`=>a/c+c/a>=2`
`=>c/b+b/c>=2`
`=>(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)+3>=2+2+2+3=9`
`=>1/a + 1/b + 1/c ≥ 9(dpcm)`