cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ac=1
chứng minh $\sqrt{a^{2}+1}$ + $\sqrt{b^{2}+1}$ + $\sqrt{c^{2}+1}$ $\leq$ 2(a+b+c)
cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ac=1
chứng minh $\sqrt{a^{2}+1}$ + $\sqrt{b^{2}+1}$ + $\sqrt{c^{2}+1}$ $\leq$ 2(a+b+c)
Ta có:
$\quad \sqrt{a^2 + 1}$
$=\sqrt{a^2 + ab + bc + ca}$
$=\sqrt{(a + b)(a+c)}$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$\sqrt{(a + b)(a+c)}\leq \dfrac{a+b + a+c}{2}$
$\to \sqrt{a^2 +1} \leq \dfrac{2a + b + c}{2}$
Hoàn toàn tương tự, ta được:
$\sqrt{b^2 + 1} \leq \dfrac{a + 2b + c}{2}$
$\sqrt{c^2 + 1}\leq \dfrac{a + b + 2c}{2}$
Cộng vế theo vế ta được:
$\sqrt{a^2 + 1} +\sqrt{b^2 + 1} +\sqrt{c^2 +1}\leq 2(a+b+c)$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{\sqrt3}{3}$
Đáp án+ giải thích các bước giải: