Cho `a,b,c>0` thỏa mãn điều kiện `a+b+c ≤3/2`.Tìm GTNN của biểu thức `A=a+b+c+1/a+1/b+1/c`

0 bình luận về “Cho `a,b,c>0` thỏa mãn điều kiện `a+b+c ≤3/2`.Tìm GTNN của biểu thức `A=a+b+c+1/a+1/b+1/c`”

1. Đáp án:

   `A=a+b+c+1/a+1/b+1/c`

   `=a+1/(4a)+b+1/(4b)+1/(4c)+3/(4a)+3/(4b)+3/(4c)`

   Áp dụng bđt cosi cho 2 số dương ta có:

   `a+1/(4a)>=1`

   `b+1/(4b)>=1`

   `c+1/(4c)>=1`

   `=>a+1/(4a)+b+1/(4b)+1/(4c)>=3`

   Áp dụng bđt cosi-schwart cho 3 số dương ta có:

   `3/(4a)+3/(4b)+3/(4c)>=(3.9)/(4(a+b+c))=27/(4(a+b+c))`

   `a+b+c<=3/2=>4(a+b+c)<=6`

   `=>27/(4(a+b+c))>=27/6=9/2`

   `=>A>=3+9/2=15/2`.

   Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=1/2.`

   Bình luận

2. Đáp án + Giải thích các bước giải:

    $A=a+b+c+\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c$

    $A=4a+4b+4c-3a-3b-3c+\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c$

    $A=\left(4a+\dfrac1a\right)+\left(4b+\dfrac1b\right)+\left(4c+\dfrac1c\right)-3a-3b-3c$

    $A=\left(4a+\dfrac1a\right)+\left(4b+\dfrac1b\right)+\left(4c+\dfrac1c\right)-3(a+b+c)$

    $A=\left(4a+\dfrac1a\right)+\left(4b+\dfrac1b\right)+\left(4c+\dfrac1c\right)-\dfrac{9}{2}$

   Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

   $4a+\dfrac1a ≥ 2\sqrt{4a.\dfrac1a}=4$

   $4b+\dfrac1b ≥ 2\sqrt{4b.\dfrac1b}=4$

   $4c+\dfrac1c ≥ 2\sqrt{4c.\dfrac1c}=4$

   $⇒ \left(4a+\dfrac1a\right)+\left(4b+\dfrac1b\right)+\left(4c+\dfrac1c\right)-\dfrac{9}{2}≥4+4+4-\dfrac92=12-\dfrac92=\dfrac{15}{2}$

   Dấu $”=”$ xảy ra khi $a=b=c=\dfrac12$

   Vậy $\min A=\dfrac{15}{2}$ khi $a=b=c=\dfrac12$

   Bình luận