Cho `a,b,c>0`. Tính GTNN của: `P=2((a^2+bc)/(b+c)+(b^2+ac)/(a+c)+(c^2+ab)/(a+b))-\root{4}(a+b+c)`

0 bình luận về “Cho `a,b,c>0`. Tính GTNN của: `P=2((a^2+bc)/(b+c)+(b^2+ac)/(a+c)+(c^2+ab)/(a+b))-\root{4}(a+b+c)`”

1. Đáp án:

   Ta sẽ đi cm điều sau là đúng `(∀a,b,c > 0)`

   `(a^2 + bc)/(b + c) + (b^2 + ac)/(a + c) + (c^2 + ab)/(a+  b) >= (b^2 + bc)/(b + c) + (c^2 + ac)/(a + c) + (a^2 + ab)/(a + b) (1)`

   `<=> (a^4 + b^4 + c^4 – (ab)^2 – (bc)^2 – (ca)^2)/[(a + b)(b+  c)(c + a)] >= 0 (2)`

   Theo BĐT ` Cô si ` ta có : 

   `a^4 + b^4 >= 2(ab)^2 ; b^4 + c^4 >= 2(bc)^2 ; c^4 + a^4 >= 2(ca)^2`

   `-> 2(a^4 + b^4 + c^4) >= 2((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2)`

   `-> a^4 + b^4 + c^4 – (ab)^2 – (bc)^2 – (ca)^2 >= 0`

   `-> (2)` đúng `(∀a,b,c > 0)`

   `-> (1)` đúng `(∀a,b,c > 0)`

   Do đó ta có : 

   `P >= 2((b^2 + bc)/(b + c) + (c^2 + ac)/(a + c) + (a^2 + ab)/(a + b)) -` $\sqrt[4]{a+  b + c}$ `= 2(a + b + c) – ` $\sqrt[4]{a+  b + c}$ `(3)`

   Đặt $\sqrt[4]{a+  b + c} = x (x > 0)$ , ta có : 

   `2(a + b + c) – ` $\sqrt[4]{a+  b + c}$

   `= 2x^4 – x`

   Ta có : `2x^4 – x + 3/8 = 1/2(x – 1/2)^2[(2x+  1)^2 + 2] >= 0 (∀x > 0)`

   `-> 2x^4 – x >= -3/8`

   `-> 2(a + b + c) – ` $\sqrt[4]{a+  b + c}$ `>= -3/8 (4)`

   Từ `(3)(4) -> P >= -3/8`

   Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1/48`

   Vậy $GTNN$ của `P = -3/8 <=> a = b = c = 1/48`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận