Cho `a,b,c>0` tm `a+b+c=6`. CMR: `a^3/(a^2+b^2)+b^3/(b^2+c^2)+c^3/(c^2+a^2)\ge 3`

0 bình luận về “Cho `a,b,c>0` tm `a+b+c=6`. CMR: `a^3/(a^2+b^2)+b^3/(b^2+c^2)+c^3/(c^2+a^2)\ge 3`”

1. Cách làm: áp dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu.

   Ta có: 

   `a^3/{a^2+b^2}={a^3+ab^2-ab^2}/{a^2+b^2}=a-{ab^2}/{a^2+b^2}>=a-{ab^2}/{2ab}=a-b/2`

   Hoàn toàn tương tự:

   `b^3/{b^2+c^2}>=b-c/2;\ c^3/{c^2+a^2}>=c-a/2`

   Cộng vế với vế của các BĐT trên, ta có:

   `a^3/{a^2+b^2}+b^2/{b^2+c^2}+c^3/{c^2+a^2}>={a+b+c}/2=6/2=3`

   Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=2`

   Trả lời