cho a,b,c >0 tm ab +bc+ca =1 cmr a/a ²+1+b/b ²+1+c/c ²+1=2/ √(a ²+1)(b ²+1)(c ²+1)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ab + bc + ca = 1$

$ a² + 1 = a² + ab + bc + ca = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) (1)$

$ b² + 1 = b² + ab + bc + ca = b(a + b) + c(a + b) = (b + c)(a + b) (2)$

$ c² + 1 = ab + bc + ca + c² = b(c + a) + c(c + a) = (c + a)(b + c) (3)$

$ (1).(2).(3): (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1) = (a + b)²(b + c)²(c + a)²$

Ta có :

$ \dfrac{a}{a² + 1} + \dfrac{b}{b² + 1} + \dfrac{c}{c² + 1}$

$ = \dfrac{a}{(a + b)(c + a)} + \dfrac{b}{(b + c)(a + b)} + \dfrac{c}{(c + a)(b + c)}$

$ = \dfrac{a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

$ = \dfrac{2(ab + bc + ca)}{\sqrt{(a + b)²(b + c)²(c + a)²}} = \dfrac{2}{\sqrt{(a² + 1)(b² + 1)(c² + 1)}} (đpcm)$