Toán Cho `a, b, c ≥ 0` và `1/(1 + a) + 1/(1 + b) + 1/(1 + c) ≥ 2` chứng minh `abc ≤ 1/8` 14/07/2021 By Josie Cho `a, b, c ≥ 0` và `1/(1 + a) + 1/(1 + b) + 1/(1 + c) ≥ 2` chứng minh `abc ≤ 1/8`
Đáp án: Cho mik xin 5* + cảm ơn + câu trả lời hay nhất nhé!! Chúc bạn học tốt !!!! Giải thích các bước giải: Ta có: $\frac{1}{1+a}$ $\geq$ $(1-\frac{1}{1+b})$ $+(1-\frac{1}{1+c})$ $⇒\frac{1}{1+a}$ $\geq$ $\frac{b}{1+b}$ $+\frac{c}{1+c}$ $\geq2$ $\sqrt[]{\frac{bc}{(1+b)(1+c)} }$ Vậy $\frac{1}{1+a}$ $\geq2$ $\sqrt[]{\frac{bc}{(1+b)(1+c)} }$ Tương tự: $\frac{1}{1+b}$ $\geq2$ $\sqrt[]{\frac{ac}{(1+a)(1+c)} }$ $\frac{1}{1+c}$ $\geq2$ $\sqrt[]{\frac{ab}{(1+a)(1+b)} }$ Nhân ba đẳng thức trên ta được: $\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}$ $\geq$ $\frac{8abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$ $⇒8abc$ $\leq1$ $⇔abc$ $\leq$$\frac{1}{8}(đpcm)$ Trả lời
Áp dụng kỹ thuật $Cauchy$ ngược dấu, ta được: $\dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{a + 1 – a}{a + 1} = 1 – \dfrac{a}{a + 1}$ $\geq 1 – \dfrac{a}{2\sqrt a} = 1 – \dfrac{\sqrt a}{2}$ Tương tự ta được: $\dfrac{1}{b + 1} \geq 1 – \dfrac{\sqrt b}{2}$ $\dfrac{1}{c + 1} \geq 1 – \dfrac{\sqrt c}{2}$ Cộng vế theo vế ta được: $\dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{c + 1} \geq 3 – \dfrac{1}{2}(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)$ $\Leftrightarrow 3 – \dfrac{1}{2}(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c) \geq 2$ $\Leftrightarrow 1 \geq \dfrac{1}{2}(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)$ $\Leftrightarrow 2 \geq \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}$ $\Leftrightarrow \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \geq \sqrt{abc}$ $\Leftrightarrow abc \leq \left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{64}{729} < \dfrac{1}{8}$ Trả lời
Đáp án:
Cho mik xin 5* + cảm ơn + câu trả lời hay nhất nhé!!
Chúc bạn học tốt !!!!
Giải thích các bước giải:
Ta có: $\frac{1}{1+a}$ $\geq$ $(1-\frac{1}{1+b})$ $+(1-\frac{1}{1+c})$
$⇒\frac{1}{1+a}$ $\geq$ $\frac{b}{1+b}$ $+\frac{c}{1+c}$ $\geq2$ $\sqrt[]{\frac{bc}{(1+b)(1+c)} }$
Vậy $\frac{1}{1+a}$ $\geq2$ $\sqrt[]{\frac{bc}{(1+b)(1+c)} }$
Tương tự: $\frac{1}{1+b}$ $\geq2$ $\sqrt[]{\frac{ac}{(1+a)(1+c)} }$
$\frac{1}{1+c}$ $\geq2$ $\sqrt[]{\frac{ab}{(1+a)(1+b)} }$
Nhân ba đẳng thức trên ta được:
$\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}$ $\geq$ $\frac{8abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
$⇒8abc$ $\leq1$
$⇔abc$ $\leq$$\frac{1}{8}(đpcm)$
Áp dụng kỹ thuật $Cauchy$ ngược dấu, ta được:
$\dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{a + 1 – a}{a + 1} = 1 – \dfrac{a}{a + 1}$
$\geq 1 – \dfrac{a}{2\sqrt a} = 1 – \dfrac{\sqrt a}{2}$
Tương tự ta được:
$\dfrac{1}{b + 1} \geq 1 – \dfrac{\sqrt b}{2}$
$\dfrac{1}{c + 1} \geq 1 – \dfrac{\sqrt c}{2}$
Cộng vế theo vế ta được:
$\dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{c + 1} \geq 3 – \dfrac{1}{2}(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)$
$\Leftrightarrow 3 – \dfrac{1}{2}(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c) \geq 2$
$\Leftrightarrow 1 \geq \dfrac{1}{2}(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)$
$\Leftrightarrow 2 \geq \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \geq \sqrt{abc}$
$\Leftrightarrow abc \leq \left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{64}{729} < \dfrac{1}{8}$