Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 chứng minh căn(a+b)+căn(b+c)+căn(c+a)<=căn5 30/08/2021 Bởi Cora Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 chứng minh căn(a+b)+căn(b+c)+căn(c+a)<=căn5
Đáp án: $\begin{array}{l}Bunhia:{\left( {a.x + b.y} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Rightarrow \left( {a.x + b.y} \right) \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \\ \Rightarrow \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \\ = 1.\sqrt {a + b} + 1.\sqrt {b + c} + 1.\sqrt {c + a} \le \sqrt {\left( {1 + 1 + 1} \right).\left( {a + b + b + c + c + a} \right)} \\ \Rightarrow \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \le \sqrt {3.2\left( {a + b + c} \right)} = \sqrt 6 \\Dấu\, = \,xảy\,ra \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}\end{array}$ Bình luận
Đáp án:
$\begin{array}{l}
Bunhia:{\left( {a.x + b.y} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\
\Rightarrow \left( {a.x + b.y} \right) \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \\
\Rightarrow \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \\
= 1.\sqrt {a + b} + 1.\sqrt {b + c} + 1.\sqrt {c + a} \le \sqrt {\left( {1 + 1 + 1} \right).\left( {a + b + b + c + c + a} \right)} \\
\Rightarrow \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \le \sqrt {3.2\left( {a + b + c} \right)} = \sqrt 6 \\
Dấu\, = \,xảy\,ra \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}
\end{array}$
Sửa đề chút nhá !