Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của P = a/1+a + b/1+b +c/1+c

Đáp án:

\[{P_{\max }} = \frac{3}{4}\]

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
P = \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}} + \frac{c}{{1 + c}}\\
 = \left( {a – \frac{{{a^2}}}{{1 + a}}} \right) + \left( {b – \frac{{{b^2}}}{{1 + b}}} \right) + \left( {c – \frac{{{c^2}}}{{1 + c}}} \right)\\
 = \left( {a + b + c} \right) – \left( {\frac{{{a^2}}}{{a + 1}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 1}} + \frac{{{c^2}}}{{1 + c}}} \right)\\
\frac{{{a^2}}}{{a + 1}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 1}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 1}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{1 + a + 1 + b + 1 + c}} = \frac{{{1^2}}}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}\\
 \Rightarrow P \le 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{1}{3}\)