Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = √3a ² + 2ab + 3b ² + √3b ² + 2bc + 3c ² + √3c ² + 2ca + 3a ²
Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = √3a ² + 2ab + 3b ² + √3b ² + 2bc + 3c ² + √3c ² + 2ca + 3a ²
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 2
P = √3a ²+ √3b ²+ √3c ² + 2ab +2bc++ 2ca + 3a ²+3b ²+ 3c ²
p=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac+2(a²+b²+c²)+√3(a²+b²+c²)
p=(a+b+c)²+(2+√3)(a²+b²+c²)
Ta có:
(a-b)²$\geq$ 0
=>a²+b²$\geq$ 2ab 1
CMTT:
<=>b²+c²$\geq$ 2bc 2
<=>c²+a²$\geq$ 2ac 3
Cộng 1+2+3 <=> 2(a²+b²+c²)$\geq$ 2(ab+bc+ac)
=>3(a²+b²+c²)$\geq$ (a+b+c)²
=>a²+b²+c²$\geq$ (a+b+c)²/3
=>(2+√3)(a²+b²+c²)$\geq$ $\frac{(2+ \sqrt[]{3} )(a+b+c)²}{3}$
mà a+b+c=2
=>(2+√3)(a²+b²+c²)$\geq$ $\frac{(2+ \sqrt[]{3} )(2)²}{3}$=$\frac{8+4\sqrt[]{3}}{3}$
=>P$\geq$ (2)²+$\frac{8+4\sqrt[]{3}}{3}$=$\frac{20+4\sqrt[]{3} }{3}$
Vậy GTNN của P là $\frac{20+4\sqrt[]{3} }{3}$
=> Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=$\frac{2}{3}$
Chúc bạn học tốt nhaaaaaaa!!!
Đáp án:
Ta có :
`3a^2 + 2ab + 3b^2 = (a + b)^2 + 2(a^2 + b^2) >= (a + b)^2 + (a + b)^2 = 2(a + b)^2`
`-> \sqrt{3a^2 + 2ab + 3b^2} >= \sqrt{2(a + b)^2} = \sqrt{2}(a + b)`
Tương tự ta có :
`\sqrt{3b^2 + 2bc + 3c^2} >= \sqrt{2}(b + c)`
`\sqrt{3c^2 + 2ca + 3a^2 } >= \sqrt{2}(c+ a)`
Cộng vế theo vế ta có :
`P >= 2\sqrt{2}(a + b + c) = 4\sqrt{2}`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 2/3`
Vậy $GTNN$ của `P = 4\sqrt{2} <=> a = b = c = 2/3`
Giải thích các bước giải: