cho a,b,c>0 và a+b+C=6
tìm max P= $\frac{ab}{\sqrt{a ²+b ²+2c ²}}$ +$\frac{cb}{\sqrt{2a ²+b ²+c ²}}$ +$\frac{ac}{\sqrt{a ²+2b ²+c ²}}$
cho a,b,c>0 và a+b+C=6 tìm max P= $\frac{ab}{\sqrt{a ²+b ²+2c ²}}$ +$\frac{cb}{\sqrt{2a ²+b ²+c ²}}$ +$\frac{ac}{\sqrt{a ²+2b ²+c ²}}$
By Valentina
`c3`
`a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac`
⇒\begin{cases}a^2+b^2+2c^2≥(a+c)(c+b)\\a^2+2b^2+c^2≥(a+b)(c+b)\\2a^2+b^2+c^2≥(a+c)(a+b) \end{cases}
`⇒P=≤(ab)/((a+c)(b+c))+(ac)/((a+b)(b+c))+(cb)/((a+c)(b+a))`
`⇒P≤\sqrt(ab)/(a+c)\sqrt(ab)/(b+c)+\sqrt(ac)/(a+b)\sqrt(ac)/(b+c)+\sqrt(cb)/(a+c)\sqrt(cb)/(a+b)`
`⇒P≤1/2 ((ab)/(a+c)+(ab)/(b+c)+(ac)/(a+b)+(ac)/(b+c)+(cb)/(a+c)+(bc)/(b+a))`
`⇒P≤1/2 (b(a+c))/(a+c)+(a(b+c))/(b+c)+(c(a+b))/(a+b))`
`⇒P≤1/2 (a+b+c)`
`⇒P≤1/2 .6`
`⇒P≤3`
`”=”`xẩy ra khi :
`a=b=c=2`
vậy` maxP=3 `khi `a=b=c=2`
`a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac`
`⇒a^2+b^2+2c^2≥(a+c)(c+b)`
tương tự
`⇔a^2+2b^2+c^2≥(a+b)(c+b)`
`⇔2a^2+b^2+c^2≥(a+c)(a+b)`
`⇒P=≤(ab)/((a+c)(b+c))+(ac)/((a+b)(b+c))+(cb)/((a+c)(b+a))`
`⇔≤\sqrt(ab)/(a+c)\sqrt(ab)/(b+c)+\sqrt(ac)/(a+b)\sqrt(ac)/(b+c)+\sqrt(cb)/(a+c)\sqrt(cb)/(a+b)`
`⇔≤1/2 ((ab)/(a+c)+(ab)/(b+c)+(ac)/(a+b)+(ac)/(b+c)+(cb)/(a+c)+(bc)/(b+a))`
`⇔≤1/2 (b(a+c))/(a+c)+(a(b+c))/(b+c)+(c(a+b))/(a+b))`
`⇔≤1/2 (a+b+c)`
`⇔P≤3`
`”=”`xẩy ra khi :
`a=b=c=2`
vậy` maxP=3 `khi `a=b=c=2`