Cho `a,b,c>0` và `abc=1`.Chứng minh `1/(a+2) +1/(b+2) +1/(c+2)<=1`

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \mathrm{Giả\ sử:\frac{1}{a+2} +\frac{1}{b+2} +\frac{1}{c+2} \leqslant 1}\\ \mathrm{\Leftrightarrow ( b+2)( c+2) +( a+2)( c+2) +( a+2)( b+2) \leqslant ( a+2)( b+2)( c+2)}\\ \mathrm{\Leftrightarrow ( ab+bc+ac) +4( b+c+a) +12\leqslant \ abc+4( a+b+c) +2( ab+bc+ac) +8}\\ \mathrm{\Leftrightarrow 4\leqslant \ abc+( ab+bc+ac)}\\ \mathrm{\Leftrightarrow 3\leqslant \ ab+bc+ac\ ( 1)}\\ \mathrm{Xét\ VT\ ( 1) :}\\ \mathrm{Cosi:\ ab+bc+ac\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} =3\ VP( 1)}\\ \mathrm{\Rightarrow \frac{1}{a+2} +\frac{1}{b+2} +\frac{1}{c+2} \leqslant 1}\\ \mathrm{Dấu\ “=”\ xảy\ ra\ \Leftrightarrow \ a=b=c=1}\\ \end{array}$