Cho a,b,c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng 1/(a^3+b^3+1) + 1/ (b^3+c^3+1) +1/ (a^3 + c^3 + 1) <= 1 10/11/2021 Bởi Cora Cho a,b,c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng 1/(a^3+b^3+1) + 1/ (b^3+c^3+1) +1/ (a^3 + c^3 + 1) <= 1
Đáp án: Giải thích các bước giải: Áp dụng bất đẳng thức co-si Ta có a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b) Tương tự b³+c³≥bc(b+c) c³+a³≥ac(a+c) A=$\frac{1}{a^3+b^3+1}$ +$\frac{1}{b^3+c^3+1}$ +$\frac{1}{c^3+a^3+1}$ Thay abc=1 vào ta có A=$\frac{1}{a^3+b^3+abc}$ +$\frac{1}{b^3+c^3+abc}$ + $\frac{1}{c^3+a^3+abc}$ ≤$\frac{1}{ab(a+b+c)}$ +$\frac{1}{bc(a+b+c)}$ + $\frac{1}{ac(a+b+c)}$ =$\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}$ =abc=1 Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 Bình luận
Ta có bđt: `x^3+y^3\ge xy(x+y)` Thật vậy: `⇔(x+y)(x^2-xy+y^2)\ge xy(x+y)` `⇔x^2-xy+y^2\ge xy` `⇔(x-y)^2\ge 0` (luôn đúng) Áp dụng ta có: `A=1/(a^3+b^3+c^3)+1/(b^3+c^3+1)+1/(c^3+a^3+1)` `A\le 1/[ab(a+b)+abc]+1/[bc(b+c)+abc]+1/[ac(a+c)+abc]` `A\le 1/[ab(a+b+c)]+1/[bc(a+b+c)]+1/[ac(a+b+c)]` `A\le (a+b+c)/[abc(a+b+c)]` `A\le 1/(abc)=1` `(Đpcm)` Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức co-si
Ta có a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)
Tương tự b³+c³≥bc(b+c)
c³+a³≥ac(a+c)
A=$\frac{1}{a^3+b^3+1}$ +$\frac{1}{b^3+c^3+1}$ +$\frac{1}{c^3+a^3+1}$
Thay abc=1 vào ta có
A=$\frac{1}{a^3+b^3+abc}$ +$\frac{1}{b^3+c^3+abc}$ + $\frac{1}{c^3+a^3+abc}$
≤$\frac{1}{ab(a+b+c)}$ +$\frac{1}{bc(a+b+c)}$ + $\frac{1}{ac(a+b+c)}$
=$\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}$ =abc=1
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Ta có bđt: `x^3+y^3\ge xy(x+y)`
Thật vậy: `⇔(x+y)(x^2-xy+y^2)\ge xy(x+y)`
`⇔x^2-xy+y^2\ge xy`
`⇔(x-y)^2\ge 0` (luôn đúng)
Áp dụng ta có:
`A=1/(a^3+b^3+c^3)+1/(b^3+c^3+1)+1/(c^3+a^3+1)`
`A\le 1/[ab(a+b)+abc]+1/[bc(b+c)+abc]+1/[ac(a+c)+abc]`
`A\le 1/[ab(a+b+c)]+1/[bc(a+b+c)]+1/[ac(a+b+c)]`
`A\le (a+b+c)/[abc(a+b+c)]`
`A\le 1/(abc)=1` `(Đpcm)`