cho a,b,c >0 và abc=1. CMR : 1/a^2(b+c) + 1/b^2(a+c) + 1/c^2(b+a) >= 3/2

0 bình luận về “cho a,b,c >0 và abc=1. CMR : 1/a^2(b+c) + 1/b^2(a+c) + 1/c^2(b+a) >= 3/2”

1. Đáp án + giải thích các bước giải:

    Đặt `(a;b;c)=(1/x;1/y;1/z)` `(x;y;z>0)`

   `->(x;y;z)=(1/a;1/b;1/c)`

   `->xyz=1/(abc)=1`

   Đặt `A=1/(a^2(b+c))+1/(b^2(a+c))+1/(c^2(b+a))`

   `=1/(1/x^2(1/y+1/z))+1/(1/y^2(1/x+1/z))+1/(1/z^2(1/x+1/y))`

   `=1/(1/(x^2y)+1/(x^2z))+1/(1/(y^2z)+1/(y^2x))+1/(1/(z^2x)+1/(z^2y))`

   `=(x^2zy)/(y+z)+(y^2xz)/(z+x)+(z^2xy)/(x+y)`

   `=x/(x+y)+y/(z+x)+z/(x+y)`

   Không mất tính tổng quát, giả sử `x>=y>=z`

   `->`$\left\{\begin{matrix} y+z\le x +z\le x+y\\\dfrac{x}{y+z}\ge \dfrac{y}{x+z}\ge \dfrac{z}{x+y} \end{matrix}\right.$

   Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev:

   `->(x+y+y+z+z+x)(x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y))>=3[(x+y). z/(x+y)+(y+z). x/(y+z)+(z+x). y/(x+z)]`

   `->2(x+y+z).A>=3(x+y+z)`

   `->A>=3/2`

   Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`

   Bình luận