Cho a+b+c=1. Chứng minh: ab+bc+ca <= 1/3

0 bình luận về “Cho a+b+c=1. Chứng minh: ab+bc+ca <= 1/3”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   {\left( {a – b} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall a,b \Leftrightarrow {a^2} – 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
   {\left( {b – c} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall b,c \Leftrightarrow {b^2} – 2bc + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc\\
   {\left( {c – a} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall c,a \Leftrightarrow {c^2} – 2ca + {a^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca\\
    \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\
   1 = a + b + c\\
    \Leftrightarrow 1 = {\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\
    \Rightarrow ab + bc + ca \le \frac{1}{3}
   \end{array}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\)

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   a+b+c=1 tương đương (a+b+c)^2=1^2

   tương đương a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1

   tương đương a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1-3ab-3ac-3bc

   tương đương  2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=2-6ab-6ac-6bc

   tương đương a^2-2ab+b^2+c^2-2ac+a^2+b^2-2bc+c^2=2(1-3ab-3ac-3bc)

   tương đương (a-b)^2+(c-a)^2+(b-c)^2=2[1-3(ab+ac+bc)]

   Với mọi a,b,c ta luôn có (a-b)^2 lớn hơn=0

                                          (c-a)^2 lớn hơn=0

                                          (b-c)^2 lớn hơn=0

   tương đương (a-b)^2+(c-a)^2+(b-c)^2 lớn hơn=0

   tương đương 2[1-3(ab+ac+bc)] lớn hơn=0

   tương đương 1-3(ab+ac+bc) lớn hơn=0

   tương đương 3(ab+ac+bc) nhỏ hơn=1

   tương đương ab+bc+ca <= 1/3 (đpcm)

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3

   KL: Vậy a+b+c=1 thì ab+bc+ca <= 1/3

   Bình luận