cho a+b+c=1 chứng minhM = $\frac{a^2}{a+b}$ + $\frac{b^2}{b+c}$ + $\frac{c^2}{c+a}$ ≥ $\frac{1}{2}$ 24/08/2021 Bởi Adalynn cho a+b+c=1 chứng minhM = $\frac{a^2}{a+b}$ + $\frac{b^2}{b+c}$ + $\frac{c^2}{c+a}$ ≥ $\frac{1}{2}$
Áp dung bất đẳng thức Schwartz cho 3 số $a+b;b+c;c+a>0$ ta có: $\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}$ \ Do $a+b+c=1$ Dấu $=$ xảy ra $⇔\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{b}{b+c}=\dfrac{c}{c+a}$ $⇔a=b=c$ Bình luận
Giải thích các bước giải: Theo BĐT Svacxo ta có với $a,b,c>0$ thì : $\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a} ≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{2.(a+b+c)} = \dfrac{1}{2}$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=\dfrac{1}{3}$ Bình luận
Áp dung bất đẳng thức Schwartz cho 3 số $a+b;b+c;c+a>0$ ta có:
$\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}$ \
Do $a+b+c=1$
Dấu $=$ xảy ra $⇔\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{b}{b+c}=\dfrac{c}{c+a}$
$⇔a=b=c$
Giải thích các bước giải:
Theo BĐT Svacxo ta có với $a,b,c>0$ thì :
$\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a} ≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{2.(a+b+c)} = \dfrac{1}{2}$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=\dfrac{1}{3}$