cho a,b,c>1 và a+b+c=4 .CMR: abc $\geq$ 64(a-1)(b-1)(c-1)

0 bình luận về “cho a,b,c>1 và a+b+c=4 .CMR: abc $\geq$ 64(a-1)(b-1)(c-1)”

1. Đáp án:

   Đặt x=a-1, y=b-1, z=c-1, ta có x+y+z=1, áp dụng bđt Cauchy: 1=x+y+z ≥ 3[(xyz)^(1/3)]

   Suy ra: 1/27≥xyz => 2≥54xyz (1) ; (xyz)^2 ≥ 27.(xyz)^3=(3xyz)^3(2)

   BĐT<=>(x+1)(y+1)(z+1) ≥ 64xyz <=> (xy+yz+zx)+(x+y+z)+1 ≥  63xyz

   <=>xy+yz+zx+2 ≥ 63xyz (*)

   Để ý: Theo bđt Cauchy, ta có: xy+yz+zx ≥ 3(xyz)^(2/3) ≥ 9xyz (do(2))

   Kết hợp (1), ta thu được (*)

   Như vậy, ta có đpcm 

   ( Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1/3 <=> a=b=c=4/3 )

    

    

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải: a  + b + c = 4

   4(1/a + 1/b + 1/c) = (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 3∛(abc).3∛(1/abc) = 9

   ⇔ 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9/4

   ⇔ – 9/4 ≥ – (1/a + 1/b + 1/c)

   ⇔ 3 – 9/4 ≥ 3 – (1/a + 1/b + 1/c)

   ⇔ 1/4 ≥ (1/3)[(1 – 1/a) + (1 – 1/b) + (1 – 1/c)] ≥ ∛[(a – 1)(b -1)(c – 1)/(abc)]

   (Cô si cho 3 số dương là (a – 1)/a; (b – 1)/b; (c – 1)/c)

   ⇔ 1/64 ≥ (a – 1)(b – 1)(c – 1)/(abc)

   ⇔ abc ≥ 64(a – 1)(b – 1)(c – 1) (đpcm)

   Bình luận