Cho: (a+b+c)^2=3(ab+ac+bc) Chứng minh rằng a=b=c (ko được sao chép mạng) 17/08/2021 Bởi Faith Cho: (a+b+c)^2=3(ab+ac+bc) Chứng minh rằng a=b=c (ko được sao chép mạng)
Giải thích các bước giải: $(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$ $\leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)$ $\leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ $\leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca$ $\leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0$ $\leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$ Mà: $\begin{cases}(a-b)^2\ge 0\quad\forall a,b\\(b-c)^2\ge 0\quad\forall b,c\\(c-a)^2\ge 0\quad\forall c,a\end{cases}$ $\rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0\quad \forall a,b,c$ Dấu = xảy ra: $\leftrightarrow \begin{cases}(a-b)^2= 0\\(b-c)^2=0\\(c-a)^2= 0\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}a-b= 0\\b-c=0\\c-a= 0\end{cases}\leftrightarrow a=b=c$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
$(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$
$\leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca$
$\leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0$
$\leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Mà: $\begin{cases}(a-b)^2\ge 0\quad\forall a,b\\(b-c)^2\ge 0\quad\forall b,c\\(c-a)^2\ge 0\quad\forall c,a\end{cases}$
$\rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0\quad \forall a,b,c$
Dấu = xảy ra:
$\leftrightarrow \begin{cases}(a-b)^2= 0\\(b-c)^2=0\\(c-a)^2= 0\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}a-b= 0\\b-c=0\\c-a= 0\end{cases}\leftrightarrow a=b=c$