Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn `a^2 -b^2=c^2-d^2` Chứng minh S = a+b+c+d là hợp số

0 bình luận về “Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn `a^2 -b^2=c^2-d^2` Chứng minh S = a+b+c+d là hợp số”

1. Đáp án:

   `S=a+b+c+d` là hợp số

   Giải thích các bước giải:

   Từ `a^2-b^2=c^2-d^2`

   `=>a^2-b^2-c^2+d^2=0`

   Ta có:

   `S=a+b+c+d`

   `=a+b+c+d+0`

   `=a+b+c+d+a^2-b^2-c^2+d^2`

   `=(a+a^2)+(b-b^2)+(c-c^2)+(d+d^2)`

   `=a(1+a)+b(1-b)+c(1-c)+d(1+d)`

   Ta thấy:

   `a(1+a) \vdots 2` `;` `b(1-b) \vdots 2` `;` `c(1-c) \vdots 2` `;` `d(1+d) \vdots 2`

   (Vì là tích của hai số nguyên liên tiếp) 

   `=>a(1+a)+b(1-b)+c(1-c)+d(1+d)\vdots 2`

   Hay `a+b+c+d \vdots 2`

   Mặt khác: `a,b,c,d` đều là số nguyên dương nên `a+b+c+d>=4>2`

   Vậy `S=a+b+c+d` là hợp số (đpcm)

   Sửa đề:

   Cho `a,b,c,d` là các số nguyên dương thỏa mãn `a^2-b^2=c^2-d^2`

   Chứng minh `S=a+b+c+d` là hợp số

    

   Bình luận

2. Đáp án:

    Thêm điều kiện `a,b,c,d` là các số nguyên dương

   Giải thích các bước giải:

    `a^2-b^2=c^2-d^2`

   `<=>a^2+d^2=c^2+b^2`

   Xét hiệu

   `a^2+b^2+c^2+d^2-(a+b+c+d)`

   `=(a-1)a+(b-1)b+(c-1)c+(d-1)d`

   Ta có `(a-1)a` $\vdots$ `2`,`(b-1)b` $\vdots$ `2`,`(c-1)c` $\vdots$ `2`,`(d-1)d` $\vdots$ `2`

   `=>a^2+b^2+c^2+d^2-(a+b+c+d)` $\vdots$ `2`

   `=>(a^2+d^2)+(c^2+b^2)-(a+b+c+d)` $\vdots$ `2`

   `=>2(a^2+d^2)-(a+b+c+d)` $\vdots$ `2`

   Lại có `2(a^2+b^2)` $\vdots$ `2`

   `=>a+b+c+d` $\vdots$ `2`

   Mà `a,b,c,d` là các số nguyên dương

   `=>a+b+c+d>2`

   `=>S = a+b+c+d` là hợp số

   Bình luận