Cho a,b,c,d là các số nguyên thoả mãn a^3+b^3=2.(c^3-d^3). Chứng minh rằng: a+b+c+d chia hết cho 3

0 bình luận về “Cho a,b,c,d là các số nguyên thoả mãn a^3+b^3=2.(c^3-d^3). Chứng minh rằng: a+b+c+d chia hết cho 3”

1. Ta có : $a^3+b^3 = 2.(c^3+d^3)$

   $ \to a^3+b^3+c^3+d^3 = 3.(c^3+d^3)$

   Vì $3.(c^3+d^3) \vdots 3$

   $\to a^3+b^3+c^3+d^3 \vdots 3$

   Xét hiệu : $(a^3+b^3+c^3+d^3) – (a+b+c+d)$

   $ = (a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)+(d^3-d)$

   $ = a.(a^2-1) + b.(b^2-1)+c.(c^2-1)+d.(d^2-1)$

   $ = (a-1).a.(a+1) + (b-1).b.(b+1) + (c-1).c.(c+1) + (d-1).d.(d+1)$

   Ta thấy  3 số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3.

   Do đó : $(a-1).a.(a+1) , (b-1).b.(b+1) , (c-1).c.(c+1) , (d-1).d.(d+1)$ đều chia hết cho $3$

   $\to (a^3+b^3+c^3+d^3) – (a+b+c+d) \vdots 3$

   Mà $a^3+b^3+c^3+d^3 \vdots 3$ ( cmt )

   Nên $a+b+c+d \vdots 3$ ( đpcm )

   Bình luận

2. Đáp án:

   Giải:

   a³+b³=2.(c³-d³)

   ⇔a³+b³=2.c³-2.d³

   ⇒a³+b³+c³+d³= 2.c³-2.d³+c³+d³

   ⇔3.(c³-d³) ⋮ 3

   ⇒ a³+b³+c³+d³ ⋮ 3 

   – Tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 suy ra:

   (a-1).a.(a+1) ⋮3

   (b-1).b.(b+1) ⋮3

   (c-1).c.(c+1) ⋮3

   (d-1).d.(d+1) ⋮3

   Ta có : a³+b³+c³+d³-a-b-c-d=(a³-a)+(b³-b)+(c³-c)+(d³-d)

   ⇔a.(a²-1)+b.(b²-1)+c.(c²-1)+d.(d²-1)

   ⇔a.(a-1)(a+1)+b.(b-1)(b+1)+c.(c-1)(c+1)+d.(d-1)(d+1) ⋮3

   ⇒a³+b³+c³+d³-a-b-c-d ⋮3⇔a³+b³+c³+d³-(a+b+c+d) ⋮3

   mà a³+b³+c³+d³ ⋮3 ⇒ a+b+c+d ⋮3

   Vậy a+b+c+d chia hết cho 3.

   Bình luận