cho a,b,c,d là cấp số nhân CMR: $(d-b)^{2}$ + $(b-c)^{2}$ + $(c-a)^{2}$ = $(d-a)^{2}$ 28/11/2021 Bởi Melody cho a,b,c,d là cấp số nhân CMR: $(d-b)^{2}$ + $(b-c)^{2}$ + $(c-a)^{2}$ = $(d-a)^{2}$
Gọi `a,b,c,d` là các số liên tiếp của CSN có công bội $q$. `=>b=aq; c=bq;d=cq` `=>ac=a.bq=aq.b=b^2` `\qquad bc=aq.c=a.cq=ad` `\qquad bd=b.cq=bq.c=c^2` Ta có: `\quad (d-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2` `=d^2-2bd+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2` `=(d^2-2bc+a^2)-2c^2+2b^2+2c^2-2b^2` (Thay `bd=c^2; ac=b^2`) `=d^2-2ad+a^2` (vì `bc=ad`) `=(d-a)^2` Vậy: `(d-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(d-a)^2` Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: $ a, b, c, d $ là $CSN ⇔ b² = ca; c² = bd; bc = ad$ $ ⇔ 2b² + 2c² – 2bc = 2ca + 2bd – 2ad $ $ ⇔ d² – 2bd + b² + b²- 2bc + c² + c² – 2ca + a² = d² – 2ad + a² $ $ ⇔ (d – b)² + (b – c)² + (c – a)² = (d – a)² $ Bình luận
Gọi `a,b,c,d` là các số liên tiếp của CSN có công bội $q$.
`=>b=aq; c=bq;d=cq`
`=>ac=a.bq=aq.b=b^2`
`\qquad bc=aq.c=a.cq=ad`
`\qquad bd=b.cq=bq.c=c^2`
Ta có:
`\quad (d-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2`
`=d^2-2bd+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2`
`=(d^2-2bc+a^2)-2c^2+2b^2+2c^2-2b^2`
(Thay `bd=c^2; ac=b^2`)
`=d^2-2ad+a^2` (vì `bc=ad`)
`=(d-a)^2`
Vậy:
`(d-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(d-a)^2`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ a, b, c, d $ là $CSN ⇔ b² = ca; c² = bd; bc = ad$
$ ⇔ 2b² + 2c² – 2bc = 2ca + 2bd – 2ad $
$ ⇔ d² – 2bd + b² + b²- 2bc + c² + c² – 2ca + a² = d² – 2ad + a² $
$ ⇔ (d – b)² + (b – c)² + (c – a)² = (d – a)² $