cho a,b,c đôi 1 khác nhau biết a^3+1=3a,b^3+1=3b,c^3+1=3c tính giá trị của biểu thức Q=a^2+b^2+c^2

0 bình luận về “cho a,b,c đôi 1 khác nhau biết a^3+1=3a,b^3+1=3b,c^3+1=3c tính giá trị của biểu thức Q=a^2+b^2+c^2”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải: Tham khảo:

   $a, b, c$ đôi một khác nhau$ ⇔ a -b; b – c, c – a \neq0$

   $a³ + 1 = 3a (1); b³ + 1 = 3b (2); c³ + 1 = 3c (3)$

   $(1) – (2) : a³ – b³ = 3(a – b) $

   $ ⇔ (a – b)(a² + ab + b²) = 3(a – b)$

   $ ⇔ a² + ab + b² = 3 (4)$( vì $a – b\neq0$)

   Tương tự $:(2) – (3); (3) – (1)$ có:

   $ b² + bc + c² = 3 (5)$

   $ c² + ca + a² = 3 (6)$

   $(4) + (5) + (6) : 2(a² + b² + c²) + ab + bc + ca = 9$

   $ ⇔ 4(a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca) = 18 (*)$

   Mặt  khác $ :(4) – (5) : a² – c² + ab – bc = 0$

   $ ⇔ (a – c)(a + c) + b(a – c) = 0$

   $ ⇔ (a – c)(a + b + c) = 0$

   $ ⇔ a + b + c = 0$ ( vì $a – c\neq0$)

   $ ⇔ (a + b + c)² = 0$

   $ ⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0 (**)$

   $(*) – (**): 3(a² + b² + c²) = 18 $

   $ ⇔ Q = a² + b² + c² = 6$

    

   Bình luận

2. Đáp án: $Q=6$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có

   $\begin{cases}a^3+1=3a\\ b^3+1=3b\\ c^3+1=3c\end{cases}$

   $\to a,b,c$ là nghiệm của phương trình

   $t^3+1=3t$

   $\to t^3-3t+1=0$

   $\to \begin{cases}a+b+c=-\dfrac{0}{1}=0\\ ab+bc+ca=-\dfrac31=-3\\ abc=\dfrac11=1\end{cases}$

   Ta có:

   $Q=a^2+b^2+c^2$

   $\to Q=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

   $\to Q=0^2-2\cdot (-3)$

   $\to Q=6$

   Bình luận