Cho `a,b,c` dương thoả mãn: `a+b+c=3`. Tìm GTNN của:
`A=frac{1}{1+a^2}+frac{1}{1+b^2}+frac{1}{1+c^2}`
#Chi tiết từng bước ( có lời dẫn giải thì càng tốt )
Cho `a,b,c` dương thoả mãn: `a+b+c=3`. Tìm GTNN của:
`A=frac{1}{1+a^2}+frac{1}{1+b^2}+frac{1}{1+c^2}`
#Chi tiết từng bước ( có lời dẫn giải thì càng tốt )
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`1/(1+a^2)`
`=(a^2+1-a^2)/(1+a^2)`
`=1-a^2/(a^2+1)`
Áp dụng cosi:
`a^2+1>=2a`
`=>a^2/(a^2+1)<=a^2/(2a)=a/2`
`=>1-a^2/(a^2+1)>=1-a/2`
Hoàn toàn tương tự:
`1/(1+b^2)>=1-b/2`
`1/(1+c^2)>=1-c/2`
`=>A>=3-(a+b+c)/2=3/2`
Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=1`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`A=1/{1+a^2}+1/{1+b^2}+1/{1+c^2}`
`={1+a^2-a^2}/{1+a^2}+{1+b^2-b^2}/{1+b^2}+{1+c^2-c^2}/{1+c^2}`
`=1-a^2/{1+a^2}+1-b^2/{1+b^2}+1-c^2/{1+c^2}`
`=3-a^2/{1+a^2}-b^2/{1+b^2}-c^2/{1+c^2}`
Áp dụng BĐT cô-si cho các số dương, ta có:
`1+a^2>=2\sqrt{a^2}=2a`
`1+b^2>=2\sqrt{b^2}=2b`
`1+c^2>=2\sqrt{c^2}=2c`
`->A>=3-a^2/{2a}-b^2/{2b}-c^2/{2c}=3-a/2-b/2-c/2`
`->A>=3-{a+b+c}/2=3-3/2=3/2`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1`