Cho `a,b,c\ge 0` tm `ab+bc+ca=1`. CMR:
a) `a+ab+abc\le 4`
b) `1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)\ge 5/2`
Làm cả `2` câu, ko đủ thì xóa, nhớ làm dễ hiểu
Cho `a,b,c\ge 0` tm `ab+bc+ca=1`. CMR:
a) `a+ab+abc\le 4`
b) `1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)\ge 5/2`
Làm cả `2` câu, ko đủ thì xóa, nhớ làm dễ hiểu
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Câu a đề sai, còn câu b tui biết 1 lời giải tuyệt đẹp:
$VT=\dfrac{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\dfrac{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}$
$VT=\dfrac{(a+b+c)^2+1}{a+b+c-abc} \geq \dfrac{(a+b+c)^2+1}{a+b+c}=a+b+c+\dfrac{1}{a+b+c}$
$\Rightarrow VT \geq (a+b+c)+\dfrac{1}{a+b+c}$ (1)
Lại có:
$VT=\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a} \right)$
$=\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c} \right)$
$\Rightarrow VT \geq \dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \right)$
$\Rightarrow VT \geq \dfrac{3}{a+b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}$
$\Rightarrow 3VT \geq \dfrac{9}{a+b+c}+\dfrac{3(a+b+c)}{2}$ (2)
Cộng vế (1) và (2):
$4VT \geq \dfrac{5}{2}(a+b+c)+\dfrac{10}{a+b+c} \geq 10$
$\Rightarrow VT \geq \dfrac{5}{2}$
P/s: nếu câu 1 sửa đề như bạn ấy là $a+b+c=3$ thì câu này khá ez:
$a+b+c=3 \Rightarrow a<4 \Rightarrow a-4<0$
$P=a+ab(1+c) \leq a+\dfrac{a}{4}(b+1+c)^2=a+\dfrac{a}{4}(4-a)^2$
$P \leq \dfrac{a^3}{4}-2a^2+5a-4+4=\dfrac{1}{4}(a-4)(a-2)^2+4 \leq 4$
Dấu “=” xảy ra khi $(a;b;c)=(2;1;0)$