Cho `a,b,c\ge 0` tm `ab+bc+ca=1` Tính GTLN: `P=(6-5abc)/(a+b+c)`

0 bình luận về “Cho `a,b,c\ge 0` tm `ab+bc+ca=1` Tính GTLN: `P=(6-5abc)/(a+b+c)`”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    `P=(6-5abc)/(a+b+c)`

   Dự đoán điểm rơi tại `(a,b,c)=(1,1,0)` và các hoán vị

   `=>P<=3`

   Nên ta cần chứng minh  `P=(6-5abc)/(a+b+c)<=3`

   Biến đổi lại

   `=>6-5abc<=3(a+b+c)`

   `<=>a+b+c+5/3 abc>=2`

   Ta có `ab+bc+ca=1`

   `=>c=(1-ab)/(a+b)`

   Thay vào ta có

   `a+b+(1-ab)/(a+b)+5/3 ab (1-ab)/(a+b)>=2`

   `=>(a+b)^2 +(1-ab)+5/3 ab.(1-ab)>=2(a+b)`

   `=>(a+b)^2-2(a+b)+1 +(2ab-5a^2b^2)/3>=0`

   `=>(a+b-1)^2+[ab(2-5ab)]/3>=0`

   Do vai trò `a,b,c` như nhau,giả sử `a<=b<=c`

   `=>ab<=bc,ab<=ca`

   `=>ab+bc+ca>=3ab`

   `=>1>=3ab`

   `=>ab<=1/3`

   `=>2-5ab>0`

   Ta lại có `a,b>=0=>(a+b-1)^2+[ab(2-5ab)]/3>=0` Luôn đúng với `∀a,b`

   Dấu `=` xảy ra `<=>(a+b-1)^2=0,ab=0`

   Mà `ab+ac+bc=1`

   `=>(a,b,c)=(0,1,1)`

   Vậy $Max_{P}$`=3<=>(a,b,c)=(0,1,1)` và các hoán vị 

   Bình luận