Cho `a,b,c in [-1;2]` và `a + b + c = 0` . cm/r `2abc <= a^2 + b^2 + c^2 <= 2abc + 2`

0 bình luận về “Cho `a,b,c in [-1;2]` và `a + b + c = 0` . cm/r `2abc <= a^2 + b^2 + c^2 <= 2abc + 2`”

1. Đáp án:

    Bài toán : `2abc <= a^2 + b^2 + c^2 <= 2abc + 2`

    Trở thành : `0 <= a^2 + b^2 + c^2 – 2abc <= 2`

   `+) a^2 + b^2 + c^2 – 2abc >= 0`
   Ta có

   `VT = a^2 + b^2 + c^2 – 2abc ≥ (a + b + c)^2/3 – 2((a + b + c)/3)^3 = 0`
   `-> đpcm`

   Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 0`
   `+) a^2 + b^2 + c^2 – 2abc <= 2`

   `<=> (a + b + c)^2 – 2(ab + bc + ca) – 2abc <= 2`
   `<=> 0 – 2(ab + bc + ca) – 2abc <= 2`
   `<=> 0 – (ab + bc + ca) – abc <= 1`
   `<=> 1 + abc + ab + bc + ca >= 0`

   Đem cộng `a + b + c = 0` vào `2` vế ta được

   `<=> 1 + ab + bc + ca + abc + a + b + c  >= 0`
   `<=> (a + 1)(b + 1)(c + 1) >= 0` (luôn đúng)

   Do `a,b,c in [-1;2] -> a + 1 , b + 1 , c + 1 >= 0`

   Vậy bài toán được chứng minh

   Giải thích các bước giải:

    

   Trả lời

2. Do $a,b,c∈[-1;2]$ nên $(a+1)(b+1)(c+1)≥0$

   Hay $abc+ab+bc+ca+a+b+c+1≥0$

   $⇔abc+ab+bc+ca+1≥0$

   Mặt khác: Vì $a+b+c=0$ nên `(a+b+c)^2=0`

   Hay: $ab+bc+ca=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}$

   Khi đó $abc-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+1≥0⇔a^2+b^2+c^2≤2abc+2$

   $⇒-1≤c≤\dfrac{a+b+c}{3}≤0⇒|c|≤1$

   Khi đó $2abc≤2.|a|.|b|.|c|≤2.|a|.|b|$

   `⇒a^2+b^2+c^2-2abc≥a^2+b^2+c^2-2|a|.|b|=(|a|+|b|)^2+c^2≥0`

   Do đó $a^2+b^2+c^2≥2abc$

   $\to$ đpcm

    

   Trả lời