Cho `a,b,c\in RR` tm `a^2+b^2+c^2=1`. CMR: `abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\ge 0` 25/08/2021 Bởi Kylie Cho `a,b,c\in RR` tm `a^2+b^2+c^2=1`. CMR: `abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\ge 0`
Ta thấy `(a+b+c+1)^2≥0` `⇔(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1≥0` `⇔a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+1≥0` `⇔1+2(ab+bc+ca+a+b+c)+1≥0` `⇔2(1+ab+bc+ca+a+b+c)≥0` `⇔1+ab+bc+ca+a+b+c≥0` Theo đề bài ta có: `a^2+b^2+c^2=1` `⇒a^2≤1` và `b^2≤1` và `c^2≤1` `⇒a≥-1` và `b≥-1` và `c≥-1` Ta có: `(1+a)(1+b)(1+c)≥0` `⇔1+a+b+c+ab+ac+cb+abc≥0` `⇔2(1+a+b+c+ab+ac+bc)+abc≥0` (đpcm) Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bạn xem hình
Ta thấy `(a+b+c+1)^2≥0`
`⇔(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1≥0`
`⇔a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+1≥0`
`⇔1+2(ab+bc+ca+a+b+c)+1≥0`
`⇔2(1+ab+bc+ca+a+b+c)≥0`
`⇔1+ab+bc+ca+a+b+c≥0`
Theo đề bài ta có: `a^2+b^2+c^2=1`
`⇒a^2≤1` và `b^2≤1` và `c^2≤1`
`⇒a≥-1` và `b≥-1` và `c≥-1`
Ta có: `(1+a)(1+b)(1+c)≥0`
`⇔1+a+b+c+ab+ac+cb+abc≥0`
`⇔2(1+a+b+c+ab+ac+bc)+abc≥0` (đpcm)