Cho a,b,c khác 0 thoã mãn : $a^{3}$+ $b^{3}$+ $c^{3}$=3abc
Tính E= (1+$\frac{a}{b}$)(1+$\frac{b}{c}$)(1+$\frac{c}{a}$)
nhanh mình vote 5 sao 20đ nha
Cho a,b,c khác 0 thoã mãn : $a^{3}$+ $b^{3}$+ $c^{3}$=3abc
Tính E= (1+$\frac{a}{b}$)(1+$\frac{b}{c}$)(1+$\frac{c}{a}$)
nhanh mình vote 5 sao 20đ nha
Đáp án:
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
<=> a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 0
<=> (a+b)^3 – 3ab(a+b) + c^3 – 3abc = 0
<=> [ (a+b)^3 + c^3 ] – 3ab(a+b+c) = 0
<=> (a+b+c)[(a+b)^2 + c^2 – c(a+b)] – 3ab(a+b+c) = 0
<=> (a+b+c)[(a+b)^2 + c^2 – c(a+b) – 3ab] = 0
Th1 : a+b+c = 0
=> a + b = -c
b + c = -a
c + a = -b
=> E = (1 + a/b)(1+b/c)(1+c/a) = a+b/b . b+c/c . c+a/a = -c.-a.-b = bca = -abc/abc = -1
Th2 : [(a+b)^2 + c^2 – c(a+b) – 3ab] = 0
=> (a+b)^2 + c^2 – ca – cb- 3ab = 0
=> a^2 + 2ab + b^2 + c^2 – ca – cb – 3ab = 0
=> a^2 + b^2 +c^2 – ac – bc – ab = 0
=> 2.a^2 + 2.b^2 + 2.c^2 – 2ac – 2bc – 2ab = 0
=> (a^2 – 2ab + b^2) + ( b^2 – 2bc + c^2) + ( c^2 – 2ac + a^2) = 0
=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0
Do (a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2 >= 0
Dấu “=” xẩy ra <=> a – b = 0 ; b – c = 0 ; c – a = 0
=> a = b = c
=> a + b = 2c
b + c = 2a
c + a = 2b
Thay vào E ta đc:
E = 2c.2a.2b/cab = 8abc/abc = 8
Cho mk TLHN để có thêm động lực nhé – thank
Đáp án: `E=-1;E=8`
Giải thích các bước giải:
`a^3 + b^3 + c^3 = 3abc`
`<=> a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 0 `
`<=> (a+b)^3 – 3ab(a+b) + c^3 – 3abc = 0`
`<=> [ (a+b)^3 + c^3 ] – 3ab(a+b+c) = 0 `
`<=> (a+b+c)[(a+b)^2 + c^2 – c(a+b)] – 3ab(a+b+c) = 0 `
`<=> (a+b+c)[(a+b)^2 + c^2 – c(a+b) – 3ab] = 0 `
`<=> (a+b+c)(a^2+b^2+2ab + c^2 – ca-cb – 3ab )= 0 `
`<=> (a+b+c)(a^2+b^2+ c^2 – ca-cb – ab) = 0 `
`=>`\(\left[ \begin{array}{l}a+b+c=0\\a=b=c\end{array} \right.\)
`E=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)`
`=(b+a)/b.(c+b)/c.(c+a)/a`
+) Với `a+b+c=0`
`=>`$\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}$
`=>E=-c/b.-a/c.-b/a` `=-1`
+) Với `a=b=c`
`=>E=(a+a)/a.(a+a)/a.(a+a)/a`
`=(2a)/a.(2a)/a.(2a)/a`
`=2.2.2`
`=8`
Vậy `E=-1;E=8`