Toán cho a, b, c khác 0 và a+b+c=1 cmr 1/a+1/b+1/c >=9 22/11/2021 By Mackenzie cho a, b, c khác 0 và a+b+c=1 cmr 1/a+1/b+1/c >=9
Ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c) Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số a/b b/a >0 ta đc a/b+b/a>=2 Cm tương tự ta có b/c+c/b>=2 c/a+a/c>=2 ⇒(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) >=9 Mà a+b+c=1 ⇒1/a+1/b+1/c >=9 Dấu = xảy ra ⇔ a+b+c=1, a=b=c ⇒ a=b=c=1/3 (do a, b, c khác 0) Trả lời
Theo BĐT Svacxo ta có : $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} ≥ \dfrac{9}{a+b+c} = \dfrac{9}{1} = 9$ Do $a+b+c=1$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=\dfrac{1}{3}$ Trả lời
Ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c)
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số a/b b/a >0 ta đc
a/b+b/a>=2
Cm tương tự ta có b/c+c/b>=2
c/a+a/c>=2
⇒(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) >=9
Mà a+b+c=1
⇒1/a+1/b+1/c >=9
Dấu = xảy ra ⇔ a+b+c=1, a=b=c
⇒ a=b=c=1/3 (do a, b, c khác 0)
Theo BĐT Svacxo ta có :
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} ≥ \dfrac{9}{a+b+c} = \dfrac{9}{1} = 9$
Do $a+b+c=1$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=\dfrac{1}{3}$