Cho a, b, c khác 0 và $\frac{a+b-c}{c}$ = $\frac{a-b+c}{b}$ = $\frac{b+c-a}{a}$
Tính giá trị của biểu thức A = $\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$
Cho a, b, c khác 0 và $\frac{a+b-c}{c}$ = $\frac{a-b+c}{b}$ = $\frac{b+c-a}{a}$
Tính giá trị của biểu thức A = $\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$
TH1 : Xét `a+ b+c = 0`
Suy ra :
`a = -b – c`
`b = -a – c`
`c = -a – b`
Khi đó :
`A = \frac{(-b-c + b)(-a-c+c)(-b-c+c)}{abc} = \frac{-ac(-b)}{abc} = 1`
TH2 : Xét `a +b+c \ne 0`
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
`\frac{a+b-c}{c} = \frac{a-b+c}{b} = \frac{b+c-a}{a} = \frac{a+ b – c + a – b +c + b +c – a}{a+b+c} = \frac{a + b + c}{a+b+c} = 1`
Suy ra :
`a +b – c = c \rightarrow a +b = 2c`
`a-b +c = b \rightarrow a +c = 2b`
`b+c-a = a \rightarrow b+c = 2a`
Khi đó :
`A = \frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc} = \frac{2^3abc}{abc} = 8`
Đáp án:
Vậy:
+) Với $a+b+c=0$ thì $A=-1$
+) Với $a+b+c\ne0$ thì $A=8$
Giải thích các bước giải:
Xét $a+b+c=0$
$\to \begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases} \ \ \ (1)$
Thay $(1)$ vào $A$, ta có:
$A=\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\dfrac{(-a)(-b)(-c)}{abc}=\dfrac{-abc}{abc}=-1$
Xét $a+b+c\ne0$
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{a-b+c}{b}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1$
$\to \begin{cases}\dfrac{a+b-c}{c}=1\\\dfrac{a-b+c}{b}=1\\\dfrac{b+c-a}{a}=1\end{cases}$ $\to \begin{cases}a+b-c=c\\a-b+c=b\\b+c-a=a\end{cases}$ $\to \begin{cases}a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a\end{cases} \ \ \ (2)$
Thay $(2)$ vào $A$, ta có:
$A=\dfrac{2a·2b·2c}{abc}=8$