Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $8(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc)\leqslant ab+bc+ca$

0 bình luận về “Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $8(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc)\leqslant ab+bc+ca$”

1. Giải thích các bước giải:

   Đặt `x = ab + bc + ca (x ge 0) `

   Ta có

   `a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 – 2(ab + bc + ca)`

   `= 1 -2x`

   Và `a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 le a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc (a+b+c)`

   `= (ab+bc+ca)^2 = x^2`

   Do đó `8(a^2 + b^2 + c^2)(a^2b^2+b^2c^2 + c^2a^2 + abc) le 8(1-2x)x^2 = 4(1-2x)2x*x le (1-2x + 2x)^2 *x = x = ab +bc+ ca`

   Vậy `8(a^2 + b^2 + c^2)(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + abc) le ab + bc +ca`

   Bình luận