Cho `a,b,c` là 2 số nguyên dương thỏa mãn `a + b+ c = 3` c.m `(\sqrt{3a + bc})/(a + \sqrt{3a + bc}) + (\sqrt{3b + ac})/(b + \sqrt{3b + ac}) + (\sqrt{3

Đáp án:Bài này khá đơn giản thôi.

Giải thích các bước giải:

`\sqrt{3a+bc}/(a+\sqrt{3a+bc})=1/(a/\sqrt{3a+bc}+1)`

Mặt khác:

`\sqrt{3a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{a(a+b)+c(a+b)}=\sqrt{(a+b)(a+c)}`

`=>\sqrt{3a+bc}/(a+\sqrt{3a+bc})=1/(1+a/\sqrt{(a+b)(a+c)}`

Hoàn toàn tương tự ta có:

`\sqrt{3b+ac}/(b+\sqrt{3b+ac})=1/(1+b/(\sqrt{(b+c)(b+a)})`

`\sqrt{3c+ab}/(c+\sqrt{3c+ab})=1/(1+c/\sqrt{(c+a)(c+b)}`

Áp dụng bất đẳng thức cosi-schwarts ta có:

`1/(1+a/\sqrt{(a+b)(a+c)})+1/(1+b/\sqrt{(b+c)(b+a)})+1/(1+c/\sqrt{(c+a)(c+b)})>=9/(a+b+c+a/\sqrt{(a+b)(a+c)}+b/\sqrt{(b+c)(b+a)}+c/\sqrt{(c+a)(c+b)})=9/(3+a/\sqrt{(a+b)(a+c)}+b/\sqrt{(b+c)(b+a)}+c/\sqrt{(c+a)(c+b)})`

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có:

`a/\sqrt{(a+b)(a+c)}<=1/2(a/(a+b)+a/(a+c))`

`b/(\sqrt{(b+c)(b+a)})<=1/2(b/(b+c)+b/(a+b))`

`c/\sqrt{(c+a)(c+b)}<=1/2(c/(a+c)+c/(b+c))`

`=>a/\sqrt{(a+b)(a+c)}+b/\sqrt{(b+c)(b+a)}+c/\sqrt{(c+a)(c+b)}<=1/2(a/(a+b)+b/(a+b)+a/(a+c)+c/(a+c)+b/(b+c)+c/(b+c))=3/2`

`<=>0<3+a/\sqrt{(a+b)(a+c)}+b/\sqrt{(b+c)(b+a)}+c/\sqrt{(c+a)(c+b)}<=3+3/2=9/2`

`<=>9/(3+a/\sqrt{(a+b)(a+c)}+b/\sqrt{(b+c)(b+a)}+c/\sqrt{(c+a)(c+b)})>=9/(9/2)=2`

`<=>\sqrt{3a+bc}/(a+\sqrt{3a+bc})+\sqrt{3b+ac}/(b+\sqrt{3b+ac})+\sqrt{3c+ab}/(c+\sqrt{3c+ab})>=9/(3+a/\sqrt{(a+b)(a+c)}+b/\sqrt{(b+c)(b+a)}+c/\sqrt{(c+a)(c+b)})>=9/2`.

Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=1`.