Cho `a, b, c` là 3 cạnh của 1 tam giác. `p` là nửa chu vi. Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{p-a}$ + $\dfrac{1}{p-b}$ + $\dfrac{1}{p-c}$ $\geq$ `2(`$\dfrac{1}{a}$ + $\dfrac{1}{b}$ + $\dfrac{1}{c}$` )`
Cho `a, b, c` là 3 cạnh của 1 tam giác. `p` là nửa chu vi. Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{p-a}$ + $\dfrac{1}{p-b}$ + $\dfrac{1}{p-c}$ $\geq$ `2(`$\dfrac{1}{a}$ + $\dfrac{1}{b}$ + $\dfrac{1}{c}$` )`
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\dfrac{1}{p-a} +\dfrac{1}{p-b}\geq \dfrac{(1+1)^2}{p – a + p – b}=\dfrac{4}{c}$
Tương tự, ta được:
$\dfrac{1}{p-b} +\dfrac{1}{p-c}\geq\dfrac4a$
$\dfrac{1}{p-c} +\dfrac{1}{p-a}\geq\dfrac4b$
Cộng vế theo vế ta được:
$2\left(\dfrac{1}{p-a} +\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\geq 4\left(\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c\right)$
Do đó:
$\dfrac{1}{p-a} +\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\geq 2\left(\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c\right)$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$
Đáp án+Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\\\end{cases}\\→p-a=\dfrac{a+b+c}{2}-a\\=\dfrac{b+c-a}{2}>0\\→p-a>0\\CMTT:\begin{cases}p-b>0\\p-c>0\\\end{cases}\\\text{áp dụng BĐT svacxo với 2 số dương ta có}\\\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \geq \dfrac{4}{2p-a-b}=\dfrac{4}{c}\\CMTT:\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \geq \dfrac{4}{2p-b-c}=\dfrac{4}{a}\\\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a} \geq \dfrac{4}{2p-c-a}=\dfrac{4}{b}→2(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}) \geq 4(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\\→\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \geq 2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})(ĐPCM)\\\underline{\text{CHÚC BẠN HỌC TỐT}}\\\end{array}$