cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác abc và p là nữa chu vi của tam giác đó . chứng minh (p-a)(p-b)(p-c) =< 1/8 (abc)
cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác abc và p là nữa chu vi của tam giác đó . chứng minh (p-a)(p-b)(p-c) =< 1/8 (abc)
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$(p-a)(p-b) \leq \dfrac{(p – a + p-b)^2}{4} = \dfrac{(2p – a – b)^2}{4} = \dfrac{c^2}{4}$
Tương tự, ta được:
$(p-b)(p-c) \leq \dfrac{a^2}{4}$
$(p-c)(p-a) \leq \dfrac{b^2}{4}$
Nhân vế theo vế ta được:
$[(p-a)(p-b)(p-c)]^2 \leq \dfrac{(abc)^2}{64}$
$\to (p-a)(p-b)(p-c) \leq \dfrac{abc}{8}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a =b = c \Leftrightarrow ΔABC$ đều