cho `a;b;c` là` 3` số k âm thỏa mãn `a+b+c=1` `CMR:\sqrt[5a+4]+\sqrt[5b+4]+\sqrt[5c+4] ≥7` 22/08/2021 Bởi Liliana cho `a;b;c` là` 3` số k âm thỏa mãn `a+b+c=1` `CMR:\sqrt[5a+4]+\sqrt[5b+4]+\sqrt[5c+4] ≥7`
Đáp án: Ta có : `a,b,c >= 0` và `a + b + c= 1` `-> 0 <= a,b,c <= 1` `-> a(1 – a) >= 0 -> a – a^2 >= 0 -> a>= a^2` `-> \sqrt{5a + 4} = \sqrt{a + 4a + 4} >= \sqrt{a^2 + 4a + 4} = \sqrt{(a + 2)^2} = a + 2` Tương tự `-> \sqrt{5b + 4} >= b + 2 , \sqrt{5c + 4} >= c + 2` Cộng tất cả lại ta được `\sqrt{5a + 4} + \sqrt{5b + 4} + \sqrt{5c + 4} >= (a + b + c) + 6 = 1 + 6 = 7` `-> đ.p.c.m` Dấu “=” xảy ra `<=> (a,b,c)` là hoán vị của `(0,0,1)` Giải thích các bước giải: Bình luận
Có `a; b; c ≥ 0, a + b + c = 1` `⇒ 1 \geq a; b; c \geq 0`Áp dụng bất đẳng thức: $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1} \geq \sqrt{x+y+1}+1$ $\Leftrightarrow x y \geq 0$Từ đây, ta có :$\sqrt{5 a+4}+\sqrt{5 b+4}+\sqrt{5 c+4} \geq \sqrt{5(a+b)+4}+\sqrt{5 c+4}+2 \geq \sqrt{5(a+b+c)+4}+2+2$ $=7$ $(ĐPCM)$ Bình luận
Đáp án:
Ta có :
`a,b,c >= 0` và `a + b + c= 1`
`-> 0 <= a,b,c <= 1`
`-> a(1 – a) >= 0 -> a – a^2 >= 0 -> a>= a^2`
`-> \sqrt{5a + 4} = \sqrt{a + 4a + 4} >= \sqrt{a^2 + 4a + 4} = \sqrt{(a + 2)^2} = a + 2`
Tương tự `-> \sqrt{5b + 4} >= b + 2 , \sqrt{5c + 4} >= c + 2`
Cộng tất cả lại ta được
`\sqrt{5a + 4} + \sqrt{5b + 4} + \sqrt{5c + 4} >= (a + b + c) + 6 = 1 + 6 = 7`
`-> đ.p.c.m`
Dấu “=” xảy ra `<=> (a,b,c)` là hoán vị của `(0,0,1)`
Giải thích các bước giải:
Có `a; b; c ≥ 0, a + b + c = 1`
`⇒ 1 \geq a; b; c \geq 0`
Áp dụng bất đẳng thức: $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1} \geq \sqrt{x+y+1}+1$ $\Leftrightarrow x y \geq 0$
Từ đây, ta có :
$\sqrt{5 a+4}+\sqrt{5 b+4}+\sqrt{5 c+4} \geq \sqrt{5(a+b)+4}+\sqrt{5 c+4}+2 \geq \sqrt{5(a+b+c)+4}+2+2$ $=7$ $(ĐPCM)$