Cho a;b;c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
$ab+ac+bc$ > $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$
Cho a;b;c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : $ab+ac+bc$ > $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$
By Reagan
By Reagan
Cho a;b;c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
$ab+ac+bc$ > $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`ab+ac+bc>(a^2+b^2+c^2)/2`
`=>2(ab+ac+bc)>a^2+b^2+c^2`
Do `a,b,c` là độ dài `3` cạnh của tam giác
`=>a+b>c=>ac+bc>c^2(1)`
`=>a+c>b=>ab+bc>b^2(2)`
`=>b+c>a=>ab+ac>a^2(3)`
Lấy `(1)+(2)+(3)=>2(ab+ac+bc)>a^2+b^2+c^2`
`=> ab+ac+bc>(a^2+b^2+c^2)/2`
`=>ĐPCM`
Do $a,\, b,\ c$ là ba cạnh của một tam giác nên ta có:
\(\begin{array}{l}
\quad \begin{cases}a + b > c\\b + c > a\\c + a > b\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}ac + bc > c^2\\ab + ac > a^2\\bc + ab > b^2\end{cases}\\
\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac) > a^2 + b^2 + c^2\\
\Leftrightarrow ab + ac + bc > \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}
\end{array}\)