Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và a ≤b≤c CMR: (a+b+c)^2 <= 9bc Help mình với

0 bình luận về “Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và a ≤b≤c CMR: (a+b+c)^2 <= 9bc Help mình với”

1. Đáp án:

   BPT $⇔a²+b²+c²+2ab+2ac≤7bc$ (1)

   Do $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác

   $⇒a+b>c⇔a+b-c>0$

   Từ $a≤b≤c⇔b-c≤0$

   $⇒(a+b-c)(b-c)≤0$

   $⇔b²+c²-ac+ab≤2bc$ (2)

   Lấy (1) – (2) $⇔a²+3ac+ab≤5bc$

   Do $a≤b≤c$

   Có $a²+3ac+ab=a(a+3c+b)$

   $a+3c+b≤c+3c+c=5c$

   $⇒a(a+3c+b) ≤5ac≤5bc$ (luôn đúng)

   Vậy ta có bất đẳng thức được chứng minh.

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

    * a≤b≤c

   ⇔a²≤b²≤c²                        {1}

   ⇔a²≤ab≤b²≤bc                 {2}

   ⇔2ab≤2ac≤2bc                 {3}

   Từ {1},{2},{3} sinh ra : (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

   ⇔ (a+b+c)² ≤ bc+bc+bc+2bc+2bc+2bc = 9bc (đpcm)

   ⇒ Vậy …….(đpcm)

   Bình luận