Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và a ≤b≤c
CMR: (a+b+c)^2 <= 9bc
Lần cuối: Đừng sao chép trên mạng
Sao chép = báo cáo
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và a ≤b≤c
CMR: (a+b+c)^2 <= 9bc
Lần cuối: Đừng sao chép trên mạng
Sao chép = báo cáo
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có: $a,b,c\geq 0$
$a\leq b\leq c$ ⇒ $a\leq b\leq c⇒a^2\leq b^2\leq c^2$ và $a^2\leq ab\leq b^2\leq bc \leq c^2$ ; $2ab \leq 2ac\leq 2bc$
Do $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
⇒ $(a+b+c)^2 <= bc+bc+bc+2bc+2bc+2bc = 9bc$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có a,b,c là độ dài 3 canh Δ
=> a+b>c <=> a+b-c>0 (1)
Có $b≤c => c-b≥0$ (2)
Nhân (1) với (2), ta được
$(a+b-c)(c-b) ≥0$
$<=> (b-c)(a+b-c) ≤0$
$<=> ab+b^2 -bc -ac-bc+c^2≤0$
$<=> ab+ b^2 + c^2 ≤ 2bc +ac$
$Do a≤b=> ab + b^2 +c^2 ≤ 2bc + ac = 2bc + bc = 3bc$ (3)
Ta có $a≤b≤c => a^2≤ bc$ (4)
$ a≤b => 2ac≤2bc $ (5)
$ a≤c <=> ab ≤bc$ (6)
Cộng (4), (5), (6),(3) lại, ta được
$2ab + b^2 +c^2 +a^2 + 2ac ≤7bc$
<=> $a^2 + b^2 +c^2 + 2ab + 2bc + 2ac ≤ 9bc$
<=> $(a + b +c)^2 ≤ 9bc$ (dpcm)