Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và a ≤b≤c CMR: (a+b+c)^2 <= 9bc Lần cuối: Đừng sao chép trên mạng Sao chép = báo cáo

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có a,b,c là độ dài 3 canh Δ

=> a+b>c <=> a+b-c>0 (1)

Có $b≤c => c-b≥0$ (2)

Nhân (1) với (2), ta được

$(a+b-c)(c-b) ≥0$

$<=> (b-c)(a+b-c) ≤0$

$<=> ab+b^2 -bc -ac-bc+c^2≤0$

$<=> ab+ b^2 + c^2 ≤ 2bc +ac$

$Do a≤b=> ab + b^2 +c^2 ≤ 2bc + ac = 2bc + bc = 3bc$ (3)

Ta có $a≤b≤c => a^2≤ bc$ (4)

          $ a≤b => 2ac≤2bc $ (5)

$ a≤c <=> ab ≤bc$ (6)

Cộng (4), (5), (6),(3) lại, ta được

$2ab + b^2 +c^2 +a^2 + 2ac ≤7bc$

<=> $a^2 + b^2 +c^2 + 2ab + 2bc + 2ac ≤ 9bc$

<=> $(a + b +c)^2 ≤ 9bc$ (dpcm)