Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c=4 CMR: (a+b)(b+c)(c+a)≥(abc)^3 29/08/2021 Bởi Iris Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c=4 CMR: (a+b)(b+c)(c+a)≥(abc)^3
Giải thích các bước giải: Với a + b + c = 4; a,b,c > 0 Ta đi chứng minh: $a + b \ge abc$ Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức ${(x + y)^2} \ge 4xy\forall x,y$ ta được: $16(a + b) = (a + b){(a + b + c)^2} \ge (a + b)4(a + b)c = 4c{(a + b)^2} \ge 16abc$ Suy ra: $a + b \ge abc$ Chứng minh tương tự: $b + c \ge abc$; $c + a \ge abc$ Khi đó: $(a + b)(b + c)(c + a) \ge (abc)^{3}$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bình luận
Giải thích các bước giải:
Với a + b + c = 4; a,b,c > 0
Ta đi chứng minh: $a + b \ge abc$
Thật vậy:
Áp dụng bất đẳng thức ${(x + y)^2} \ge 4xy\forall x,y$ ta được:
$16(a + b) = (a + b){(a + b + c)^2} \ge (a + b)4(a + b)c = 4c{(a + b)^2} \ge 16abc$
Suy ra: $a + b \ge abc$
Chứng minh tương tự: $b + c \ge abc$; $c + a \ge abc$
Khi đó: $(a + b)(b + c)(c + a) \ge (abc)^{3}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c