Cho a,b,c là ba số thực bất kì thỏa mãn 2a ² + b ² + c ² + 2ab -2ac – 10a – 10b +25 = 0
Tìm giá trị lớn nhất Q = `(a+b-1)/(c ² – c +1)`
Cho a,b,c là ba số thực bất kì thỏa mãn 2a ² + b ² + c ² + 2ab -2ac – 10a – 10b +25 = 0
Tìm giá trị lớn nhất Q = `(a+b-1)/(c ² – c +1)`
Đáp án:
Ta có
`2a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – 2ac – 10a – 10b + 25 = 0`
`<=> (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 – 2ac + c^2) – (10a + 10b) + 25 = 0`
`<=> (a + b)^2 – 10(a + b) + 25 + (a – c)^2 = 0`
`<=> (a + b – 5)^2 + (a – c)^2 = 0`
`<=> {a + b – 5 = 0`
`{a – c = 0`
`<=> {a + b = 5`
`{a = c`
Ta có :
`Q = (a + b – 1)/(c^2 – c + 1) = (5 – 1)/(c^2 – c + 1) = 4/(c^2 – c + 1)`
Nhận thấy : `c^2 – c + 1 = c^2 – 2 . c . 1/2 + 1/4 + 3/4 = (c – 1/2)^2 + 3/4 >= 3/4`
`-> Q = 4/(c^2 – c + 1) <= 4/(3/4) = 16/3`
Dấu “=” xảy ra `<=> {c – 1/2 = 0`
`{a = c`
`{a + b = 5`
`<=> a = c = 1/2 , b = 9/2`
Vậy GTLN của `Q` là `16/3 <=> a = c = 1/2 , b = 9/2`
Giải thích các bước giải: