cho a,b,c là các số dương đôi một khác nhau chứng minh biểu thức sau là số dương: A=x^3+y^3+z^3-3xyz

0 bình luận về “cho a,b,c là các số dương đôi một khác nhau chứng minh biểu thức sau là số dương: A=x^3+y^3+z^3-3xyz”

1. A = x³ + y³ + z³ – 3xyz
   = (x + y)³ – 3xy(x + y) + z³ – 3xyz 
   = (x + y)³ + z³ – 3xy(x + y + z) 
   = (x + y + z)³ – 3(x + y + z)(x + y)z – 3xy(x + y + z) 
   = (x + y + z)³ – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) 
   = (x + y + z)[(x + y + z)² – 3xy – 3yz – 3zx)] 
   = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)

   = $\frac{1}{2}$(x + y + z)(2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx)

   = $\frac{1}{2}$(x + y + z)[(x² -2xy + y²) + (y² -2yz + z²)+ (z² – 2zx + x²)]

   = $\frac{1}{2}$(x + y + z)[(x-y)² + (y-z)²+ (z-x)²]

   Do x >0, y>0, z>0 => x + y + z >0

   Và x, y, z đôi một khác nhau nên x-y # 0, y-z #0, z-x #0 =>  (x-y)² >0, (y-z)²>0, (z-x)² >0

   => A > 0 hay A là số dương

   Bình luận

2. Đáp án:

    Tham khảo

   Giải thích các bước giải:

   $ A=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$

   $A=x^{3}+y^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+z^{3}-3xy^{2}-3x^{2}y-3xyz$

   $A=(x+y)^{3}+c^{3}-3xy(x+y+z)=0$

   $A=(x+y+z)[x^{2}+2xy+y^{2}-(x-y)-z+z^{2}]-3xy(x+y+z)$

   $A=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz+2yz-3xy)$

   $A=(x+y+z)(x^{2}-2xy+y^{2}-2yz+z^{2}+x^{2}-2xz+z^{2})$

   $A=(x+y+z)[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(a-z)^{2}]$
   Do\(\left[ \begin{array}{l}x>0,y>0,z>0\\x\neq y\neq z\end{array} \right.\) 
   ⇔\(\left[ \begin{array}{l}x+y+z>0\\(x-y)+(y-z)+(x-z)\neq 0\end{array} \right.\) 

   $⇒A>0$
   ⇒$\text{A là số dương}$

   Bình luận