Cho a,b,c là các số dương sao cho a+b+c =1
Chứng minh a²/b+c + b²/a+c + c² /b+a ≥1/2
Cho a,b,c là các số dương sao cho a+b+c =1 Chứng minh a²/b+c + b²/a+c + c² /b+a ≥1/2
By Alaia
By Alaia
Cho a,b,c là các số dương sao cho a+b+c =1
Chứng minh a²/b+c + b²/a+c + c² /b+a ≥1/2
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng Engel ta có :
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}$
$≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{b+c+a+c+a+b} = \dfrac{(a+b+c)^2}{2.(a+b+c)} = \dfrac{1}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
Vậy BĐT được hoàn tất !
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
ÁP dụng BĐT Svacxo 3 số cho các số b+c,a+c,c+b >0 ta có:
$\frac{a^2}{b+c}$+ $\frac{b^2}{a+c}$+$\frac{c^2}{a+b}$$≥$$\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$$=$$\frac{1}{2}$ ( $a+b+c$$=1$)
Dấu = xảy ra ⇔ $a=b=c=1/3$