$ Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=1$ Chứng minh rằng: $abc \leq \frac{1}{8}$

0 bình luận về “$ Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=1$ Chứng minh rằng: $abc \leq \frac{1}{8}$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   `\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=1`

   `⇔\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=1-\frac{c}{1+c}=\frac{1}{1+c}`

   Chứng minh tương tự: 

   `\frac{c}{1+c}+\frac{b}{1+b}=\frac{1}{1+a}`

   `\frac{a}{1+a}+\frac{c}{1+c}=\frac{1}{1+b}`

   Nhân $3$ đẳng thức trên theo vế rồi dùng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

   `\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}=(\frac{a}{1+a}.\frac{b}{1+b}).(\frac{c}{1+c}+\frac{b}{1+b}).(\frac{a}{1+a}+\frac{c}{1+c})`

   `≥2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}.2\sqrt{\frac{bc}{(1+a)(1+b)}}.2\sqrt{\frac{ac}{(1+a)(1+c)}}` 

   `=8\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}`

   $⇒8abc≤1$ (do $a;b;c>0$)

   `⇒abc≤\frac{1}{8}(đpcm)`

   Bình luận