Cho a,b,c là các số dương thõa mãn `a+b+c=3`.CMR:`8.(a+b)(b+c)(c+a)≤ (a+3)(b+3)(c+3)` Hóng:Đ

0 bình luận về “Cho a,b,c là các số dương thõa mãn `a+b+c=3`.CMR:`8.(a+b)(b+c)(c+a)≤ (a+3)(b+3)(c+3)` Hóng:Đ”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    a) Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

   `(a+b)(b+c) \le [\frac{(a+b)+(b+c)}{2}]^{2}=\frac{(3+a)^2}{4}`

   Tương tự ta có:

   `(b+c)(c+a) \le \frac{(3+c)^2}{4}`

   `(c+a)(a+b) \le \frac{(3+b)^2}{4}`

   Nhân vế với vế ta được:

   `[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 \le 64[(3+a)(3+b)(3+c)]^{2}`

   `⇒ 8(a+b)(b+c)(c+a) \le (a+3)(b+3)(c+3)`

   `⇒ ĐPCM`

   Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c=1`

   Bình luận

2. Đáp án:

   $\text{Ta có:}\\(a+3)(b+3)(c+3)=(a+a+b+c)(a+b+b+c)(a+b+c+c)\\ \ \ \ \ \ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ \ \ \ \ =[(a+b)+(a+c)][(b+a)+(b+c)][(c+a)+(c+b)]\\\text{Áp dụng BĐT cô-si cho các số dương, ta có:}\\(a+b)+(a+c)\ge 2\sqrt{(a+b)(a+c)} \ \ (1)\\(b+c)+(b+a)\ge 2\sqrt{(b+a)(b+c)} \ \ (2)\\(c+a)+(c+b)\ge 2\sqrt{(c+b)(c+a)} \ \ (3)\\\text{Nhân vế với vế của $(1), (2)$ và $(3)$, ta được:}\\(a+3)(b+3)(c+3)\ge 8\sqrt{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}=8(a+b)(b+c)(c+a)\\\text{Đẳng thức xảy ra} \ \Leftrightarrow a=b=c=1\\\text{Vậy BĐT được chứng minh.} $

    

   Bình luận